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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
3.
Calcule, si se puede, los límites en el infinito, además de los límites en los puntos que se indican
f) $f(x)=e^{\frac{x-1}{x}}, x=0^{+}, x=0^{-}$
f) $f(x)=e^{\frac{x-1}{x}}, x=0^{+}, x=0^{-}$
Respuesta
Límites en un punto
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Este ejercicio lo vamos a pensar igual que el anterior, viendo a dónde tiende el exponente.
Cuando $x$ tiende a $0$ por derecha...
$\lim _{x \rightarrow 0^+} \frac{x-1}{x} $
El numerador tiende a $-1$ y el denominador tiende a $0$ pero es positivo, por lo tanto...
$\lim _{x \rightarrow 0^+} \frac{x-1}{x} = - \infty$
y entonces...
$\lim _{x \rightarrow 0^+} e^{\frac{x-1}{x}} = 0 $
En cambio, cuando $x$ tiende a $0$ por izquierda:
$\lim _{x \rightarrow 0^-} \frac{x-1}{x} = + \infty$
y entonces,
$\lim _{x \rightarrow 0^-} e^{\frac{x-1}{x}} = +\infty $
Límites en $\pm \infty$
Fijate que
$\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{x-1}{x} = 1$
Por lo tanto,
$\lim _{x \rightarrow \pm \infty} e^{\frac{x-1}{x}} = e $